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B.Maple7 programming guide by Monagan M. PDF

By Monagan M.

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Die komplexen Zahlen werden dabei mit der (x1 , x2 )-Ebene des dreidimensionalen Raumes identifiziert. Punkte z = x + i y der komplexen Zahlenebene werden auf die Einheitssph¨ are S := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1 abgebildet, indem man den Schnittpunkt Z = (x1 , x2 , x3 ) von S mit der Geraden durch den Nordpol N = (0, 0, 1) und P = (x, y, 0) berechnet. Man erh¨ alt so die folgende Abbildung: x1 = x2 2x , + y2 + 1 x2 = x2 2y , + y2 + 1 x3 = x2 + y 2 − 1 x2 + y 2 + 1 F¨ ur z = 2 + i wird die stereographische Projektion durch die Abbildung auf Seite 12 veranschaulicht.

Als alternative Sprech- und Notierungsweisen sind hierf¨ ur auch gebr¨auchlich: zk −→ a (d. h. (k → ∞)“ weglassen), lim zk = a, (zk ) konvergiert gegen a ” k→∞ (f¨ ur k → ∞), a ist Grenzwert“ bzw. Limes“ der Folge (zk ). ” ” Man bezeichnet eine Folge (zk ) kurz als konvergent, wenn ein a ∈ Cn mit zk −→ a existiert. Auf Folgen (zk ) mit Werten in Cn u ¨ bertragen wir ferner die folgenden beiden Begriffe: (zk ) ” Cauchy-Folge“ : ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ K ∈ N ∀ k, ≥ K zk − z <ε beschr¨ankt“ : ⇐⇒ ∃ M ∈ [0, ∞[ ∀ k ∈ N zk ≤ M ” Offensichtlich ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge, und jede CauchyFolge ist beschr¨ ankt.

In der Richtung von absoluter Konvergenz zu unbedingter Konvergenz wird diese Aussage gelegentlich als Kleiner Umordnungssatz zitiert. Satz u ¨ber Cauchy-Produkte Es seien ∞ aν und ν=0 ∞ bν zwei absolut konvergente Reihen mit Reihenwer- ν=0 ten α bzw. β. 4 Reihen und Potenzreihen 49 Die angegebene Produktbildung von Reihen ist f¨ ur viele Anwendungen interessant, insbesondere bei der Multiplikation von Potenzreihen. ∞ ∞ Der Satz gilt nicht, wenn die beiden Reihen ν=0 aν und ν=0 bν nur bedingt konvergieren.

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by Steven
4.1

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